Tisztelt Szakbarbár!

Érdeklődnék, hogy jár-e nekem bármilyen ellátás az alábbi szituációban a jelenlegi szabályok szerint.

2008 márciustól 2011 márciusig az EU Bizottságban dolgoztam, helyileg Olaszországban. Fizetésem kb. 2000 EUR/hó. Közben 2009 áprilisában született gyermekemmel az EU intézmény nyújtotta szülési szabadságon voltam, a helyi (EU intézményeknél szokásos) ellátást kaptam 2009 márciustól novemberig. 2009 novembertől újra munkába álltam. 2011 márciusában, mikor lejárt a szerződésem, hazaköltöztünk (állandó lakóhelyem végig mo-i), munkanélküliként regisztráltam, de ellátást Magyarországról nem kaptam, hanem Brüsszelből importálták. Ezt azonban már nem kapom 2012 márciustól. TB járulékot magamnak kellett fizetnem.
Első kérdésem: 2011 november 19-én született gyermekem után vajon jár-e TGYÁS/GYED? (uGYE, nekem meglenne a szükséges biztosított napok száma, de nem MO-n, sőt nem is tagállamban, hanem EU-s intézményben). Második kérdésem: ha TGYÁS/GYED nem jár, GYES-re gondolom biztos jogosult vagyok. De igényelhetem-e ezt már a szüléstől fogva vagy a munkanélküli ellátás mellé nem jár? Harmadik, dolgozhatok-e GYES mellett otthoni munkát vagy egy éves korig ez most is tilos?
Köszönettel